髪と世界平和と商集合

先日、髪が長くて不潔だと僕の友人に言われました。当時(今も)、毎日髪を洗っていたし気になる時は櫛で髪をほぐしていたので全く自分の髪を汚いと思っておらず，激しくショックな出来事でした。

　　　なぜ僕は髪が長いせいで不潔だと言われてしまったのでしょうか？

その理由はまだ商集合と完全代表系という考え方が世間一般に普及してないからだと僕は考えます。

 はじめに，知らない方のために商集合と完全代表系について解説しておきます。

 集合Xがあって、〜がXの同値関係であるとはどの３つのXの要素x,y,zについても次の3つの条件(a)-(c)を満たすことを言います

(a)x〜x(難しい言葉で言えば反射律)

(b)x〜yならばy〜x(対称律)

(c)x〜yかつy〜zならばx〜z(推移律)

例えば，Zを整数全体としてx,yに対し関係〜をxとyとの差が偶数として定義すると〜は同値関係です。なぜならxとxの差は0なので偶数ですし、x-yが偶数ならy-xも偶数です。(c)も明らかでしょう。

集合Xとその上の同値関係〜があったとき同値関係で割って商集合X/〜が出来ます。つまり

X/〜={q(x)|q(x)はxと〜を満たすもの全部}

で定義されます。またq(x)をxの同値類と言い，逆にxはq(x)の代表元であると言います．難しく感じるかもしれませんが，次の例が身近でしょう;Xを紅組と白組の２つのクラスがある小学校の生徒としてx君とy君が同じクラスの時x〜yとすると〜は同値関係であり

X/〜={紅組、白組}

ということです。この時注意することとしましては，紅組というのは紅組の生徒全体のことでそれを一つの要素だと思っています．

先ほどの整数の例でいうと

Z/〜={偶数，奇数}（普通Z_2だとかく）

となります．数２Bであったmod2の合同式はZ_2上で考えていることに当たりますので高校数学をよく勉強した人に取っては慣れ親しんだ例であると言えます．

さて，集合Xとその商集合X/〜の間には自然な写像（関数）

q:X→X/〜

があります．つまりxに対してxと同値関係〜を満たす集合q(x)を対応させる写像のことですが，これを商写像と言います．簡単にわかることとして商写像は全射，つまり値域がX/〜全体という性質があります．

ここでqの定義域を制限することでqは全単射，つまり一対一対応する写像になります．どのように制限すればいいかと言うと，まず適当にxを集合XからとりyをXの要素であってq(x)の要素ではないものとして取って取れなくなるまで繰り返す（本当はこれは厳密な言い方ではありません！）とXの部分集合X_rが取れてqをX_rに制限すればqは全単射になります．このX_rのことを同値関係〜に関するXの完全代表系といいます．

上の小学校の例がわかりやすいでしょう．つまり紅組の学級委員長Aくんと白組の学級委員長Bくんを選んでqを制限すれば，

q:{Aくん，Bくん}→{紅組，白組}

は明らかに一対一に対応します．

商集合と完全代表系についてお分りいただけたでしょうか？（かなりわたくしとしては不安ですので参考文献として斎藤毅さんの「集合と位相」（東京大学出版）をあげておきます．）

ようやく本題に戻ってきて，僕はなぜ髪が長いから不潔だと言われたのでしょう？

その答えの鍵は商集合と完全代表系にあります．集合Xとして男性全体（わたくしが男性であるかは要出典ですが）をとり，同値関係〜を髪が長いか長くないかという関係とするとX/〜は髪の長い人全体と髪の長くない人全体の二つに分かれます．

髪の長い人の同値類には例えば，長い間髪の毛を切っていないプータローさんやオダギリジョーさんなどがいます．きっとその友人は不潔なプータローを髪の長い人の代表元として取ってしまい，あたかも髪の長い人全体がプータローと同じ仲間であるかのように思ってしまったのです．そうするともちろん僕もその代表元なので商写像をqとしてq(プータロー)＝q(僕)と言うことになってめでたく僕も不潔になってしまったのです．しかし勿論これは嘘です．

なぜならオダギリジョーさんは不潔ではないからです!（髪の長いイケメンがいてよかったですね^^;)

このように商集合として同じ元であっても全体の集合として違うということは普通のことなのに知らない人はこう思ってしまうのですね．こういうわけできっと差別はなくならず，世界平和は訪れないのでしょう．

最後に世界で最も有名な同値関係ではない関係を紹介して終わりましょう．全体集合Xを人類全体として関係を友人関係とします．すると激しく同値関係ではありません；実際，人類全員が自分のことを愛してる（これもかなり無理な話ではありますが・・・）としても友達の友達はもはや他人でしょう．もしかすると一番はじめに出てきた友達は僕のことを友達だと思っていないかもしれません．ここまで記事を読んだ人は恐らくこう思うでしょう．

友達が同値関係だったら世界平和が地球にもたらされたのに！！！

しかし残念ながら世界はそんな同値関係で割れるほどそう単純ではありません．

p.s　昨日，髪を切りに行って頭がスッキリしました^^